Bài toán khó của thầy Văn Như Cương tại Olympic 1982

Tại triển lãm "Dấu ấn" do học sinh trường THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) tổ chức nhân ngày 20/11, bên cạnh hàng nghìn bức ảnh, hàng trăm đầu sách là bài toán Olympic của thầy Văn Như Cương - nguyên Chủ tịch Hội đồng quản trị trường.

Trước đó tại cuộc thi Olympic Toán quốc tế (IMO) năm 1982, đoàn Việt Nam do GS Hoàng Xuân Sính làm trưởng đoàn và GS Đoàn Quỳnh làm phó đoàn. Việt Nam đóng góp một đề toán hình học do thầy Văn Như Cương soạn.

GS Trần Văn Nhung nhiều lần chia sẻ rằng bài toán của thầy Cương rất khó và độc đáo. Nhiều nước muốn loại ra khỏi sáu bài của đề thi. Nhưng giáo sư, viện sĩ người Hungary R. Alfred, Chủ tịch IMO năm đó, quyết định giữ lại và khen "rất hay". Tuy nhiên, bài toán trong đề thi chính thức đã được sửa điều kiện. Điều này được cho là làm bài toán dễ hơn.

Năm đó, chỉ 20 thí sinh của kỳ thi giải được bài toán này, trong đó có Lê Tự Quốc Thắng của Việt Nam - người đoạt huy chương vàng với số điểm 42/42. Đoàn Việt Nam xếp thứ 5/30 quốc gia tham dự.

Bài toán gốc của thầy Văn Như Cương

Ngày xưa có một ngôi làng hình vuông mỗi cạnh dài 100 km. Có một con sông chạy ngang quanh làng. Bất cứ điểm nào trong làng cũng cách con sông không quá 0,5 km.

Hãy chứng minh rằng có hai điểm trên sông có khoảng cách đường chim bay không quá 1 km, nhưng khoảng cách dọc theo dòng sông không nhỏ hơn 198 km. (Giả sử lòng sông rộng không đáng kể).

Đề toán chính thức IMO 1982:

Dịch sang tiếng Việt:

Cho hình vuông S có độ dài cạnh là 100. L là một đường gấp khúc không tự cắt tạo thành từ các đoạn thẳng A0A1, A1A2…, A(n-1)An với A0 ≠ An. Giả sử với mỗi điểm P nằm trên chu vi của S đều tồn tại một điểm thuộc L cách P không quá 1/2. Chứng minh rằng: Tồn tại hai điểm X và Y thuộc L sao cho khoảng cách giữa X và Y không vượt quá 1, và độ dài đường gấp khúc L nằm giữa X và Y không nhỏ hơn 198.

Sự khác biệt:

Đề thi chính thức đã thay đổi điều kiện so với bài toán gốc của thầy Văn Như Cương: "Bất cứ điểm nào trong làng cũng cách con sông không quá 0,5 km" thành "Bất cứ điểm nào nằm trên chu vi làng cũng cách con sông không quá 0,5 km".