Đáp án bài toán trong giải đấu do sinh viên Harvard, MIT tổ chức

Đề bài:

Stacy có X đôla. Cô cầm số tiền này tới khu mua sắm với 10 cửa hàng và một gian hàng xổ số. Ban đầu Stacy vào chơi xổ số và đã trúng thưởng, nâng số tiền của mình lên gấp đôi. Tiếp theo, cô bước vào cửa hàng đầu tiên và tiêu hết 1024 đôla.

Sau đó, Stacy lại bước vào gian hàng xổ số và trúng thưởng, nâng số tiền lên gấp đôi, rồi bước vào cửa hàng thứ hai và lại tiêu hết 1024 đôla. Quá trình lặp lại, Stacy luôn trúng số. Sau khi bước ra khỏi cửa hàng thứ 10, Stacy hết sạch tiền.

Số tiền tối thiểu Stacy có ban đầu là bao nhiêu?

Ảnh minh họa: Makeuseof

Đáp án: 1023 đôla.

Sau khi bước ra khỏi cửa hàng thứ 10, Stacy hết sạch tiền. Vậy theo chu kỳ như ở đề bài, trước khi bước vào cửa hàng thứ 10, Stacy có 1024 đôla.

Vì trúng thưởng, số tiền sẽ tăng lên gấp đôi nên sau khi mua sắm ở cửa hàng thứ 9, Stacy có 1024/2 = 512 đôla. Ta có 512 = 1024 - 2⁹.

Sau lần mua sắm ở cửa hàng thứ 9, Stacy có 512 + 1024 = 1536 đôla.

Suy ra, sau lần mua sắm ở cửa hàng thứ 8, Stacy có 1536/2 = 768 đôla. Ta có 768 = 1024 - 2⁸.

Tương tự ở những lần mua sắm trước đó, ta nhận thấy sau khi bước ra khỏi cửa hàng thứ n (0 ≤ n ≤ 10), Stacy có 1024 - 2ⁿ đôla.

Ban đầu, tức là Stacy chưa bước vào cửa hàng nào, n lúc này bằng 0.

Suy ra, số tiền tối thiểu ban đầu của Stacy là 1024 - 2⁰ = 1023 đôla.